منطق گرایی

بنیاد منطق گرایی را می بایست در آثار فیلسوف و ریاضیدان مشهور آلمانی لایبنیتس (1646-1716) جست. بنابر نظر لایبنیتس نظام های ریاضی می توانند قالب های بسیار خوبی برای مبانی تفکر باشند. او همچنین معتقد بود که حقایق ریاضی و منطق هر دو مبتنی بر اصل ارسطویی تناقض اند. اگرچه خود او در چگونگی تفسیر این اصل مردد می نمود، اما به زبان فنی می توان آن را این گونه بیان نمود . بنا- بر این اصل قبول دو قضیه که یکی آنچه را که دیگری انکار کرده اثبات می نماید مجاز نمی باشد. نتیجه منطقی چنین نظری آن است که طی مراحلی محدود می توان کلیه گزاره های ریاضی و منطقی را به گزاره های یکسان تحلیل نمود.
این نظرات در سال 1884 مبنای فعالیت ریاضیدان هموطن لایبنیتس، گوتلوب فرگه گردید. به نظر فرگه ریاضیات قابل تجزیه به منطق می باشد و در نتیجه چیزی نیست مگر جزیی از آن. منطق گرایی بر این اساس مشتمل بر دو ایده عمده بود؛ اولا می توان مفاهیم ریاضی را به وسیله تعارف صریح از مفاهیم منطقی استخراج کرد و ثانیا کلیه قصایای ریاضی را می توان از اصول متعارف منطقی و صرفا با استفاده از قیاس منطقی ناب استنتاج نمود.
فرگه در راه اثبات این دو مطلب منطق ریاضی را آن گونه که امروز می شناسیم بنیان نهاد. کارآمدی این ابزار جدید ریاضی آنقدر زیاد بود که در مدتی بسیار کوتاه بصورت جزء لاینفکی از فلسفه، فیزیک و انفروماتیک
درآمد. نبوغ بی نظیر فرگه همچنین او را قادر ساخت تا مبحث موجهات درمنطق را که بیش از دو هزار سال یعنی از زمان ارسطو هیچ پیشرفتی نکرده بود به یکی از بالنده ترین شاخه های علوم در عصر ما تبدیل کند؛ رشته ای که بدون آن بسیاری از پیشرفت ها در سه حوزه فوق الذکر حتی ممکن نیز نمی نمود.
اما در جریان اجرای برنامه تحویل حساب به منطق مشکلی فنی در مورد چگونگی تعریف و نامیدن طبقات و مجموعه هایی که عضو طبقه و مجموعه خود هستند اما نامی از آنها در خود شان نیست پیش آمد. برای مثال کتاب -هایی را در نظر بگیرد که فهرستی از نام کتاب ها هستند و در نتیجه خودشان هم یک کتاب بشمار می روند، در حالی که نام خودشان در این فهرست ها نیامده، حال اگر بخواهم فهرستی از فهرست هایی که عضو خود نیستند ترتیب دهیم (طبقه ای از طبقات را که عضو خود نیستند تشکیل دهیم) آیا این فهرست می باید عضو خود باشد یا خیر؟ اگر باشد باید نامش در فهرست ثبت شود(یعنی در خودش) اما در این صورت متعلق به مجموعه فهرستهایی که نامشان در خودشان نیامده نیست (یعنی سایر اسامی حاضر در فهرست) و اگر نباشد و نام خود را نیاورد آنگاه لاجرم می بایست نامش در خودش ذکر شود!
این مشکل که بعدها مشهور به پارادکس راسل گردید توسط ریاضیدان جوانی به همین نام به اطلاع فرگه رسید و او را بشدت حیران نمود بطوری که بکلی از تحویل ریاضیات به منطق مایوس گردید. فرگه در اقدامی شجاعانه و با تواضعی که حتی در سرتاسر تاریخ علم نیز کمتر نمونه ومثالی داشته، نتایج تحقیقات راسل را در پایان آخرین جلد از کتابی که حاصل یک عمر تحقیق و به منزله اثبات کامل نظراتش بود به چاپ رسانید و اذعان داشت که روشش عقیم مانده و شکست خورده است.
این عمل او خصوصا تاثیری بسیار عمیق بر برتراند آرتور ویلیام راسل(1872-1969) ریاضیدان جوان و آزاداندیشی -که بارها بعلت فعالیت هایش بر علیه جنگ و انباشت سلاح به زندان افتاد- بر جای گذاشت. او نخست به تنهایی و بعد با کمک وایتهد(1861-1947) به تلاش برای حل این معضل پرداخت. آن دو در کتاب اصول ریاضیات ضمن حل مشکل فوق الذکر توانستند ریاضیات را تا به طور کامل از منطق استنتاج کنند. بنا بر نظام ایشان "اعداد نسبت هایی منطقی اند که، نه به اشیاء بلکه به مفاهیم تعلق دارند". برای مثال اینکه عدد 2 یک مفهوم است به این معنی است که دو شیء تحت آن قرار می گیرند:

منطق گرایی در حقیقت نوعی واقع گرایی است که بر خلاف افلاطون گرایی برای بنیان نهادن ریاضیات بر مبنایی مستحکم آن را به منطق تحویل می کند. منطق گرایان خصوصا با فراهم کردن زبان صوری بسیاری قوی منطق ریاضی توانستند از موثرترین جریانات تاریخ ریاضی به شمار روند هرچند که روش تحویلی شان بکلی متروک گردید.